El largo problema de la proporción de oro y otros números irracionales resueltos con simplicidad mágica

La mayoría de la gente raramente trata con números irracionales – sería, bueno, irracional, ya que ellos corren para siempre, y representarlos con precisión requiere una cantidad infinita de espacio. Pero constantes irracionales como π y √2 -números que no pueden reducirse a una simple fracción- aparecen con frecuencia en la ciencia y la ingeniería. Estos números difíciles de manejar han plagado a los matemáticos desde los antiguos griegos; de hecho, la leyenda dice que Hippaso se ahogó por sugerir que existían los irracionales. Ahora, sin embargo, se ha resuelto un dilema de casi 80 años de edad sobre qué tan bien se pueden aproximar.

Muchas personas conceptualizan los números irracionales redondeándolos a fracciones o decimales: estimando π como 3.14, lo que equivale a 157/50, lleva a la celebración generalizada del Día del Pi el 14 de marzo. Sin embargo, una aproximación diferente, 22/7, es más fácil de discutir y más cercana a π. Esto nos lleva a la pregunta: ¿Existe un límite a la sencillez y precisión de estas aproximaciones? ¿Y podemos elegir una fracción de la forma que queramos?

En 1941, el físico Richard Duffin y el matemático Albert Schaeffer propusieron una regla sencilla para responder a estas preguntas. Considere una búsqueda para aproximar varios números irracionales. Primero, decida cuán cercana debe ser la aproximación para las fracciones de un denominador en particular. (Recuerde, el «numerador» se refiere a la parte superior de una fracción y el «denominador» a la parte inferior. Aquí, todas las fracciones están completamente simplificadas, así que, por ejemplo, 2/4 no cuenta como tener el denominador 4 porque se simplifica a 1/2.) Puede decidir que las fracciones simplificadas del formulario n /2 pueden aproximarse a cualquier número irracional cuyo valor real caiga dentro de 1/10 de ellos, lo que da a la aproximación un «error» de 1/10. Las fracciones que se parecen a n /10 están más cerca unas de otras en la línea numérica que las que tienen el denominador 2, por lo que podría limitar el error en ese caso a sólo 1/100 – esas fracciones pueden aproximarse a cualquier cosa dentro de 1/100 de ellas.

Por lo general, los denominadores más grandes se asocian con errores más pequeños. Si esto es cierto, y hay infinitamente muchos denominadores que uno puede usar para aproximar un número dentro del error correspondiente, entonces al aumentar el denominador la aproximación puede hacerse cada vez mejor. La regla de Duffin y Schaeffer mide cuando esto se puede hacer basándose en el tamaño de los errores.

Si los errores elegidos son lo suficientemente pequeños en conjunto, un número irracional escogido al azar x tendrá sólo un número limitado de buenas aproximaciones: podría caer en las brechas entre aproximaciones con denominadores particulares. Pero si los errores son lo suficientemente grandes, habrá infinitamente muchos denominadores que crearán una buena fracción aproximada. En este caso, si los errores también se reducen a medida que los denominadores aumentan, puede elegir una aproximación que sea tan precisa como desee.

No probado

El resultado es que o bien se pueden aproximar casi todos los números arbitrariamente bien, o casi ninguno de ellos. «Hay una dicotomía sorprendente», dice Dimitris Koukoulopoulos, un matemático de la Universidad de Montreal. Además, puedes elegir los errores como quieras, y siempre y cuando sean lo suficientemente grandes en conjunto, la mayoría de los números pueden ser aproximados infinitamente de muchas maneras. Esto significa que, al elegir algunos errores como cero, puede limitar las aproximaciones a tipos específicos de fracciones, por ejemplo, aquellas con denominadores que son potencias de 10 solamente.

Aunque parece lógico que los pequeños errores dificulten la aproximación de las cifras, Duffin y Schaeffer no pudieron probar sus conjeturas, y tampoco lo hizo nadie más. La prueba sigue siendo «un problema abierto histórico» en la teoría de números, dice Christoph Aistleitner, un matemático de la Universidad Tecnológica de Graz en Austria que ha estudiado el problema. Es decir, hasta este verano, cuando Koukoulopoulos y su coautor James Maynard anunciaron su solución en un documento publicado en el servidor de preimpresión arXiv.org.

La conjetura Duffin-Schaeffer «tiene esta simplicidad mágica en un área de las matemáticas que normalmente es excepcionalmente difícil y complicada», dice Maynard, un profesor de la Universidad de Oxford. Se tropezó con el problema por accidente: es un teórico de los números, pero no en la misma área que la mayoría de los expertos de Duffin-Schaeffer. (Normalmente estudia los números primos – aquellos que son divisibles por sí mismos y 1.) Un profesor de la Universidad de York sugirió a Maynard que abordara la conjetura Duffin-Schaeffer después de dar una charla allí. «Creo que tenía la intuición de que podría ser beneficioso sacar a alguien ligeramente fuera de ese campo inmediato», dice Maynard. Esa intuición resultó ser correcta, aunque no daría fruto durante varios años. Mucho después de esa conversación inicial, Maynard sugirió una colaboración con Koukoulopoulos bajo la sospecha de que su colega tenía experiencia relevante.

Maynard y Koukoulopoulos sabían que el trabajo previo en el campo había reducido el problema a uno sobre los factores primos de los denominadores – los números primos que, cuando se multiplican juntos, producen el denominador . Maynard sugirió pensar en el problema como un sombreado de los números: «Imagina, en la línea numérica, colorear todos los números cercanos a las fracciones con el denominador 100.» La conjetura Duffin-Schaeffer dice que si los errores son lo suficientemente grandes y uno hace esto por cada posible denominador, casi cada número será coloreado infinitamente muchas veces.

Para cualquier denominador en particular, sólo una parte de la línea numérica será coloreada. Si los matemáticos pudieran mostrar que para cada denominador, se colorearon áreas suficientemente diferentes, se asegurarían de que casi todos los números fueran coloreados. Si también pudieran probar que esas secciones se superponen, podrían llegar a la conclusión de que eso ocurrió muchas veces. Una forma de captar esta idea de áreas diferentes, pero superpuestas, es demostrar que las regiones coloreadas por diferentes denominadores no tienen nada que ver entre sí: eran independientes.

Pero esto no es realmente cierto, especialmente si dos denominadores comparten muchos factores principales. Por ejemplo, los posibles denominadores 10 y 100 comparten factores 2 y 5-y los números que pueden ser aproximados por fracciones de la forma n/10 exhiben superposiciones frustrantes con aquellos que pueden ser aproximados por fracciones n/100 .

Graficar el problema

Maynard y Koukoulopoulos resolvieron este enigma reformulando el problema en términos de redes que los matemáticos llaman gráficas, un montón de puntos, con algunos conectados por líneas (llamados bordes). Los puntos en sus gráficos representaban posibles denominadores que los investigadores querían usar para la fracción aproximada, y dos puntos estaban conectados por un borde si tenían muchos factores primos en común. Los gráficos tenían muchos bordes precisamente en los casos en que los denominadores permitidos tenían dependencias no deseadas.

El uso de gráficos permitió a los dos matemáticos visualizar el problema de una manera nueva. «Uno de los mayores descubrimientos que se necesitan es olvidar todas las partes sin importancia del problema y concentrarse en uno o dos factores que lo hacen muy especial», dice Maynard. Usando gráficos, dice, «no sólo te permite probar el resultado, sino que realmente te está diciendo algo estructural sobre lo que está sucediendo en el problema». Maynard y Koukoulopoulos dedujeron que los gráficos con muchos bordes correspondían a una situación matemática particular y altamente estructurada que podían analizar por separado.

La solución del dúo sorprendió a muchos en el campo. «La sensación general era que esto no estaba cerca de ser resuelto», dice Aistleitner. «La técnica de usar[gráficos] es algo que tal vez en el futuro se considere tan importante[como] -quizás más importante que la conjetura real de Duffin-Schaeffer», dice Jeffrey Vaaler, un profesor jubilado de la Universidad de Texas, Austin, que demostró ser un caso especial de la conjetura en 1978.

Puede que a otros expertos les lleve varios meses entender todos los detalles. «La prueba ahora es una prueba larga y complicada», dice Aistleitner. «No basta con tener una idea sorprendente y brillante. Hay muchas, muchas partes que deben ser controladas». Con 44 páginas de matemática técnica y densa, incluso las mentes matemáticas más destacadas necesitan tiempo para envolverse en el papel. La comunidad, sin embargo, parece optimista. Dice Vaaler: «Es un papel precioso. Creo que es correcto».

Este artículo se publicó por primera vez en ScientificAmerican.com . ScientificAmerican.com . Todos los derechos reservados Follow Scientific American en Twitter @SciAm y @SciamBlogs. Visite ScientificAmerican.com para obtener las últimas noticias sobre ciencia, salud y tecnología.

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